亏格为1的曲面模型
最初的拓扑学定理是 1736 年 L.欧拉发表的关于柯尼斯堡七桥问题的解答，且给出了连通网络一笔画的充要条件 。1750年他又给出了多面体的欧拉定理断言与二维球面S2同胚（即能连续形变为S2）的多面体的顶点数a0、棱数a1 、面数a2满足a0－a1＋a2＝2，此数称为S2的欧拉示性数。用它可以证明凸正多面体只有正四面体、正八面体、正十二面体、正六面体、正二十面体五种。它在闭曲面的分类问题，四色问题的证明中都起了很大的作用。继欧拉之后，1833年前后C.F.高斯研究空间各种纽结（即打结的非自交的闭曲线），研究结能否打开；两个结能否互相形变，即纽结的等价分类问题。高斯给出了闭曲线的环绕数，这是纽结理论研究的基本工具之一。均为拓扑学萌芽阶段的研究成果。
1895年B.黎曼提出了黎曼面的概念。他在研究复变函数时，开始对曲面拓扑性质进行系统研究。解决了定向闭曲面的分类问题，且给出了n维流形的确切定义。
J.-H.庞加莱是公认的组合拓扑的奠基人 。1895年他以《关于位置几何学》为题发表的数篇论文，是对拓扑空间进行代数研究的开始。
拓扑学的另一分支点集拓扑学渊源于数学分析奠基工作及泛函分析的产生。19世纪末G.康托尔建立了集合论，且进一步定义了欧几里得空间的开集、闭集、导集等，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。以后泛函分析的兴起，更促进了把点集当作空间来研究。
微分拓扑起源于庞加莱猜想，1936年H.惠特尼关于嵌入定理发表以后开始形成一个独立的数学分支。
拓扑学渗透到数学各分支，如同调群、同伦群的研究促进了同调代数的发展；纤维丛、微分流形，微分拓扑的研究促进了微分几何的发展；微分动力体系是微分拓扑与微分方程交叉的学科。不仅如此，拓扑学已被广泛应用于物理、化学、生物、经济等学科。纽结应用于物理及遗传工程就是其中一例。
亏格为2的曲面模型唾液腺疾病
salivary gland diseases
唾液腺又称涎腺，有大小两种。大的有3对 ：腮腺、颌下腺和舌下腺，各有导管开口于口腔；小的分布于唇、舌 、颊、腭、磨牙后等部位的粘膜固有层和粘膜下层内。常见的唾液腺疾病有以下几种：①涎腺结石病。最常见颌下腺导管结石。主要症状：进食时疼痛及颌下腺肿胀。可扪到导管结石。X线照片可显阳性结石。治疗 ：手术摘除结石 。②唾液腺炎。主要是涎腺结石及化脓菌、病毒、结核菌等感染所致。临床表现：涎腺红肿、胀痛，全身发热。化脓性者涎腺导管口红，可挤出脓；病毒性者导管口唾液清亮；涎腺淋巴结炎者其导管口正常。治疗：抗菌消炎。③米古利兹氏病、舍格林氏综合征（口干综合征）。唾液腺的自身免疫性疾病。淋巴细胞浸润并取代腺泡。临床表现：口干、眼干、唾液腺肿大、关节病等。涎腺造影、同位素扫描、活检病理检查有诊断价值。尚无根治方法，可用中、西药对症治疗，改善唾液分泌。④唾液腺良性肥大。涎腺的代偿性或退行性病变。营养不良、肝炎、糖尿病等在涎腺的反应。临床表现：涎腺软性肿大，无不适。涎腺造影为良性肥大。一般不需治疗。⑤唾液腺肿瘤（见颌面部肿瘤）。
